Skateboard en bois recyclé

Philippe est un artisan passionné de sports de glisse. Il fabrique des skateboards en bois recyclé dans son atelier. Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, il décide d'étudier le coût de production de ses planches.

Le coût de production hebdomadaire, en euro, est modélisé par la fonction : \(C(x)=0{,}05x^2+3x+150\) définie sur l’intervalle \([1\,;200]\), où `x` représente le nombre de skateboards fabriqués dans la semaine.

Le prix de vente d'un skateboard est fixé à 15 euros.

Problématique : en quoi l'analyse du coût marginal permet-elle à Philippe d'ajuster sa production pour maximiser sa rentabilité tout en maîtrisant ses coûts ?

1. Calculer le coût de production pour 50 skateboards.

2. Déterminer l'expression du coût moyen de production \(C_M(x)\) d’un skateboard en fonction de `x`.

3. Calculer le coût moyen de l'entreprise lorsqu'elle fabrique 50 skateboards. Interpréter le résultat.

4. Calculer le coût de production pour 51 skateboards.

5. Le coût marginal \(C_m\) correspond au coût de production d’une unité supplémentaire. Il indique combien coûte la fabrication d’un objet de plus quand on en produit déjà un certain nombre. Il est défini par la formule \(C_m(x) = C(x+1) - C(x)\) avec `C(x)` le coût de production.

Calculer le coût marginal du 50^e skateboard.

Coup de pouce 1 : une perle est là pour vous aider si besoin !

6. Déterminer la fonction dérivée `C'` de la fonction `C`.

7. Calculer `C'(50)`.

8. Comparer les résultats obtenus aux questions 5 et 7.

9. Déterminer, à l'aide d'une résolution graphique, à partir de combien de skateboards produits le coût marginal devient supérieur au prix de vente unitaire (15 €). Utiliser un outil numérique au choix :

• calculatrice NumWorks : consulter la fiche méthode Résoudre graphiquement une inéquation avec NumWorks ;
  
• GeoGebra : consulter la fiche méthode Résoudre graphiquement une inéquation avec GeoGebra.

Coup de pouce 2 : une perle est là pour vous aider à la mise en équation si besoin !

Coup de pouce 3 : une perle est là pour vous aider avec la résolution graphique si besoin !

10. En déduire quelle stratégie Philippe pourrait adopter pour ajuster sa production de manière optimale.

11. Répondre à la problématique.